Kā atrast leņķi, ja ir norādīti trijstūra virsotnes


Geometry: Introduction to Geometry (Level 6 of 7) | Sets, Union, Intersection II (Jūnijs 2019).

Anonim

Trīsstūris ir visvienkāršākais daudzstūris, lai atrastu leņķu vērtības, kuras, izmantojot zināmus parametrus (sānu garumu, ierakstīto un ierobežoto apļu rādiusu utt.), Ir vairākas. Tomēr bieži ir problēmas, kas prasa aprēķināt leņķus trijstūra virsotnēs, kas atrodas noteiktā telpiskās koordinātu sistēmā.

Instrukcija

1

Ja trijstūri norāda visu trīs tā virsotņu (X₁, Y₁, Z₁, X₂, Y₂, Z₂ un X₃, Y₃, Z₃) koordinātas, tad sākas, aprēķinot sānu garumu, kas veido trijstūra leņķi (α), kura lielums jūs interesē. Ja kāds no tiem ir pievienots taisnleņķa trijstūrim, kurā puse ir hipotenūze, un tās projekcijas uz divām koordinātu asīm ir kājas, tad tās garumu var atrast ar Pitagora teorēmu. Projektīvu garums būs vienāds ar starpību starp sānu sākuma un beigu koordinātām (ti, trīs trijstūra virsotnēm) gar attiecīgo asi, kas nozīmē, ka garumu var izteikt kā kvadrātsakni no šādu koordinātu pāru atšķirību kvadrātu summas. Trīsdimensiju telpā attiecīgās trijstūra abu pušu formulas var rakstīt kā: √ ((X₁-X₂) ² + (Y₁-Y₂) ² + (Z₁-Z₂) ²) un √ ((X₁-X₃) ² + (Y₁-Y₃) ² + (z₁-z₃) ²).

2

Izmantojiet divas formulas vektoru skalārajam produktam - šajā gadījumā vektori ar kopējo sākumu ir trijstūra malas, kas veido aprēķināto leņķi. Viena no formulām izsaka skalāru produktu garuma izteiksmē, ko jūs iegādājāties iepriekšējā posmā, un leņķa starp tām:: ((X₁-X₂) ² + (Y₁-Y₂) ² + (Z₁-Z₂) ²) ((X₁ -X2) + + (Y2-Y2) ² + (Z₁-Z₃) ²) * cos (α). Otrs ir ar koordinātu kopsummu gar attiecīgajām asīm: X₁ * X₃ + Y₁ * Y₃ + Z₁ * Z₃.

3

Vienādojiet šīs divas formulas un izsakiet nepieciešamā leņķa kosinumu no vienlīdzības: cos (α) = (X₁ * X₃ + Y₁ * Y₃ + Z₁ * Z₃) / (√ (((X₁-X₂) ² + (Y₁-Y₂) ² + (Z₁ -Z₂) ²) * √ (((X2-X₃) + + (Y₁-Y₃) ² + (Z₁-Z₃) ²)). Trigonometrisko funkciju, kas nosaka leņķi grādos, pamatojoties uz tās kosinīna vērtību, sauc par loka kosinīnu - izmantojiet to, lai uzrakstītu formulas galīgo versiju, lai atrastu leņķi no trijstūra trīsdimensiju koordinātām: α = arccos ((X₁ * X₃ + Y₁ * Y₃ + Z₁ * Z₃) / (₃ ((X2-X2) + + (Y₁-Y2) ² + (Z₁-Z₂) ²) * √ ((X₁-X₃) + + (Y₁-Y₃) + + (Z₁-Z₃) ²))).

  • trijstūris tiek dots ar virsotnēm, atrodot augstumu