Kā atrisināt lineāros vienādojumus ar gauss


Lineāru vienādojumu risināšana (Jūnijs 2019).

Anonim

Lai atrisinātu šo problēmu, mums ir vajadzīgs matricas rangs, kā arī Kronecker-Capelli teorēma. Matricas rangs ir lielākās nulles noteicēja dimensija, ko var atšķirt no matricas.

Jums būs nepieciešams

  • - papīrs;
  • - pildspalva.

Instrukcija

1

Kronecker-Capelli teorēma ir šāda: lai lineāro vienādojumu sistēma (1) būtu savietojama, ir nepieciešams un pietiekams, ka sistēmas paplašinātās matricas rangs ir vienāds ar sistēmas matricas rangu. Lineāro algebrisko vienādojumu sistēmai ar n nezināmiem ir forma (sk. 1. att.), Kur aij ir sistēmas koeficienti, xj ir nezināmi, bi ir brīvie termini (i = 1, 2, ..., t; j = 1, 2, ..., t; j = 1, 2, ..., n).

2

Gauss metode
Gauss metode ir tāda, ka sākotnējā sistēma, likvidējot nezināmos, tiek pārveidota pakāpeniski. Šajā gadījumā paplašinātās matricas rindās tiek veiktas līdzvērtīgas lineārās transformācijas.
Šī metode sastāv no tiešiem un atpakaļgaitas pārvietojumiem. Tiešais kurss ir izvērst sistēmas (1) paplašināto matricu pakāpeniskā formā, izmantojot elementāras transformācijas virs rindām. Pēc tam tiek veikta konsekvences un noteiktības sistēmas izpēte. Tad vienādojumu sistēma tiek rekonstruēta no soli matricas. Šī pakāpeniskā vienādojumu sistēmas risinājums ir Gausa metodes apgrieztā secība, kurā, sākot ar pēdējo vienādojumu, secīgi tiek aprēķināti nezināmie ar lielu sekvences numuru un to vērtības tiek aizstātas ar sistēmas iepriekšējo vienādojumu.

3

Sistēmas izpēte uz priekšu gājiena beigās tiek veikta saskaņā ar Kronecker - Capelli teorēmu, salīdzinot sistēmas A (rangA) matricas un paplašinātās matricas A ′ rindas (rang (A)).
Gauss metodes ieviešana ir jāaplūko ar piemēru.
Piemērs. Atrisiniet vienādojumu sistēmu (sk. 2. attēlu).

4

Lēmums. Atrisiniet sistēmu, izmantojot Gauss metodi. Pierakstiet sistēmas paplašināto matricu un nogādājiet to pakāpeniskā formā ar elementārām rindu transformācijām (tieša pārvietošana). Līnijas tiek pievienotas tikai, ņemot vērā koeficientus, kas norādīti uz sāniem un virzieniem, kas ir perpendikulāri ar bultiņām (sk. 3. att.), Tāpēc sistēma ir konsekventa un tai ir viens risinājums, tas ir, tas ir skaidrs.

5

Izveidojiet pakāpenisku skatu sistēmu un atrisiniet to (pretēji). Risinājums ir parādīts 4. attēlā. Verifikācija ir vienkārša ar aizstāšanas metodi.
Atbilde: x = 1, y = -2, z = 3.
Ja vienādojumu skaits ir mazāks par mainīgo skaitu, parādās brīvi zināmi, kas apzīmēti ar brīvajām konstantēm. Aizkulises posmā visi pārējie nezināmie ir izteikti caur tiem.